Es wurde hier zwar jetzt schon mehrfach Jugenderberge in den Raum geschmissen - Köln ist aber leider nicht billig und auch die Jugendherbergen sind nicht unter € 20 zu haben, aber der Preis ist zumindest nahe an den 20 Euro:
http://www.jugendherberge.de/de/jugendherbergen/visitenkarte/jh.jsp?IDJH=451
http://www.jugendherberge.de/de/jugendherbergen/visitenkarte/jh.jsp?IDJH=450
Beide sind auch recht zentral gelegen.
Versuchs auch mal über die Mitwohnzentrale
http://www.mitwohnzentrale-koeln.com/
oder über die Privatzimmervermitlung
http://www.koelnferien.de/
Im Kölner Backpacker Hostel bekomt man ab 30 Euro ein Zimmer oder ab 17 Euro ein Bett in einem Mehrbettzimmer:
http://www.hostel-cologne.de/de/prices.htm