Es wurde hier zwar jetzt schon mehrfach Jugenderberge in den Raum geschmissen - Köln ist aber leider nicht billig und auch die Jugendherbergen sind nicht unter € 20 zu haben, aber der Preis ist zumindest nahe an den 20 Euro:
http://www.jugendherberge.de/jh/rheinland/koeln-deutz/preise/index.shtml.de?m
http://www.jugendherberge.de/jh/rheinland/koeln-riehl/preise/index.shtml.de?m
Beide sind auch recht zentral gelegen.
Versuchs auch mal über die Mitwohnzentrale
http://www.mitwohnzentrale-koeln.com/
oder über die Privatzimmervermitlung
http://www.koelnferien.de/
Im Kölner Backpacker Hostel bekomt man ab 30 Euro ein Zimmer oder ab 17 Euro ein Bett in einem Mehrbettzimmer:
http://www.hostel-cologne.de/de/prices.htm